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Numéro spécial HPC


Simulation numérique & HPC




Guillaume JOUVET

Gilles STEINER


À la frontière entre physique, mathématiques et informatique, la simulation numérique consiste à reproduire un phénomène naturel sur ordinateur. Quelques exemples concrets d’applications de la simulation numérique sont décrits ici comme l’optimisation de la fabrication de l’aluminium ou la visualisation de l’évolution des glaciers en fonction des prévisions d’augmentation des températures.

Simulation numérique

Dans la chaire d’analyse et simulation numérique (ASN) du professeur Jacques Rappaz, nous nous efforçons de résoudre des équations aux dérivées partielles issues de la physique à l’aide de méthodes, dites numériques, basées sur de solides théories mathématiques.
En règle générale, il n’est pas possible de représenter exactement la solution d’un problème physique du fait de la complexité des équations et des géométries. C’est pourquoi dans la pratique on procède à une approximation du problème en discrétisant l’espace et le temps, ce qui signifie que l’on cherche à approcher la solution en certains points et à certains temps. L’analyse mathématique permet alors de démontrer la convergence de la solution approchée vers la solution exacte lorsque le nombre de points de discrétisation (ou d’inconnues) augmente. Cependant, pour simuler un phénomène complexe comme la dynamique d’un fluide en 3D, il faut être capable de résoudre un système d’équations dont la taille atteint facilement le million d’inconnues, ce qui n’est pas possible sans recourir à des ordinateurs performants.

Quel est le lien entre un glacier et une cuve de fabrication d’aluminium  ?

Bien qu’a priori il semble n’en exister aucun, en fait, la dynamique d’un glacier et l’écoulement d’aluminium en fusion sont régis par les mêmes équations physiques. La glace et l’aluminium liquide sont en effet deux fluides, de densités et viscosités très différentes, mais dont les vitesses d’écoulement et pressions internes sont liées au travers des célèbres équations de mécanique des fluides de Navier-Stokes (1822) :


Ces deux sujets sont étudiés depuis de nombreuses années à l’ASN et ont fait l’objet de plusieurs thèses et articles scientifiques.

Électrolyse de l’aluminium

Pour fabriquer de l’aluminium on a recours au procédé d’électrolyse qui consiste à injecter de l’alumine (Al2O3) dans un solvant extrêmement corrosif maintenu à une température d’environ 1000°C. En appliquant un fort courant électrique dans le système, la liaison chimique entre oxygène et aluminium est supprimée pour permettre la création d’aluminium pur sous forme liquide.
Une cuve d’électrolyse consiste donc essentiellement en un récipient contenant deux fluides (solvant et aluminium liquide) soumis à des forces électromagnétiques importantes pouvant induire des écoulements tourbillonnaires.
Pour optimiser le processus de fabrication il est important de pouvoir anticiper le mouvement des fluides dans la cuve. Dans la pratique les mesures et observations sont difficiles à entreprendre étant donné les conditions extrêmes qui règnent dans un hall d’usine (fortes températures, champs magnétiques, courant électrique, etc). Dans cette situation, la simulation numérique s’avère extrêmement utile. Elle permet par exemple d’optimiser la forme des cuves et la position des conducteurs extérieurs pour augmenter au maximum le rendement de production.


En guise d’exemple, la figure ci-dessus représente le potentiel électrique calculé sur une géométrie de cuve réaliste tandis que ci-dessous on observe les trajectoires de particules fluides dans l’aluminium liquide.


Dynamique des glaciers

Méconnue il y a peu, la glaciologie profite aujourd’hui de la médiatisation du réchauffement climatique. Terrain d’aventure pour certains ou attraction touristique pour d’autres, tous partagent une inquiétude face au retrait imminent des glaciers Alpins. Le mouvement des glaciers résulte de plusieurs phénomènes. Les précipitations neigeuses accumulées se transforment en glace et contribuent en un gain de masse alors que le rayonnement solaire induit la fonte et contribue en une perte de masse. La quantité considérable de glace se déforme sous l’effet de la force gravitationnelle et s’écoule comme un fluide visqueux. Le modèle physique possède deux composantes essentielles bien distinctes : les équations de Navier-Stokes modélisent la viscosité de la glace tandis qu’une équation complémentaire décrit la position de la surface entre air et glace en prenant en compte le bilan de masse. Nous présentons un exemple de simulation numérique qui concerne le glacier du Rhône (VS) de 2008 à 2100. En partant de la géométrie actuelle, le bilan de masse est calculé selon une augmentation importante des températures et à un faible changement des précipitations. Le résultat est donné ci-dessous, en image, avec les prévisions respectives du glacier en 2025, 2050, 2075 et 2100. Selon cette simulation, le glacier du Rhône ne devrait plus avoir que 5 % de sa masse actuelle en 2100 !

Les composantes du calcul scientifique

Pour reproduire des phénomènes réels tels que l’électrolyse ou l’évolution d’un glacier, plusieurs étapes sont nécessaires. La modélisation consiste d’abord en la mise en équation du phénomène physique étudié. La simulation numérique consiste ensuite en la discrétisation et en la résolution des équations. Enfin, l’étape de validation passe par un ajustement du modèle pour que les résultats obtenus reproduisent correctement l’expérience.


Comprendre, prédire, concevoir

Les atouts du calcul scientifique sont multiples : d’une part, une fois la modélisation et les méthodes numériques validées, la simulation permet de reproduire virtuellement le phénomène physique et remplace ainsi de coûteuses expériences en laboratoire. D’autre part, l’expérience virtuelle étant sans danger, les scientifiques peuvent également étudier des situations extrêmes et recréer des phénomènes impossibles à reproduire en pratique tels que la propagation d’un incendie dans un bâtiment. Dans le cas de l’électrolyse de l’aluminium, la simulation numérique permet d’optimiser à moindre coût un procédé de fabrication complexe. Dans le cas des glaciers, elle complète le travail de terrain effectué par les glaciologues et permet de mieux comprendre la mécanique sous-jacente et l’interaction avec le climat. En particulier, des scénarios climatiques peuvent être confrontés pour déterminer leurs impacts à plus ou moins long terme sur les glaciers.


Puissance de calcul, parallélisation

La résolution d’un problème physique complexe requiert une puissance de calcul importante. Si dans les années 80, la simulation de problèmes 3D était quasiment impensable ce n’est plus le cas aujourd’hui. Pendant 30 ans, grâce à la miniaturisation, la rapidité des processeurs ainsi que la capacité mémoire des ordinateurs n’ont cessé de progresser, permettant ainsi de résoudre des problèmes de plus en plus grands, de plus en plus vite. Néanmoins les limites de la technologie ont forcé les calculateurs mono-processeurs à migrer vers des clusters multi-processeurs. Ce tournant informatique a conduit les mathématiciens à paralléliser leurs programmes de simulation, c’est-à-dire à diviser efficacement le problème principal en sous-problèmes traités individuellement sur des processeurs différents. Ainsi la part d’informatique dans le calcul scientifique moderne prend de plus en plus d’importance et oblige les scientifiques à développer leur savoir dans les trois domaines que sont la physique, les mathématiques et l’informatique.



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