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Numéro spécial HPC


Un nouveau défi pour les numériciens – Modéliser la fragmentation de structures hétérogènes




Sarah LEVY

Jean-François MOLINARI

Raúl RADOVITZKY


La fragmentation est un processus physique irréversible, non linéaire et statistique. L’outil informatique est le moyen actuel le plus adapté pour prédire l’évolution de ce phénomène complexe. Simuler la fragmentation d’une structure hétérogène de taille réaliste requiert des méthodes numériques performantes et parallélisables. La méthode de Galerkin discontinue offre des perspectives prometteuses pour y parvenir. Nous présentons dans cet article les raisons principales de son succès.

Visitez une région où la sécheresse craquelle les sols ; ou bien laissez tomber une assiette sur le sol, et constatez qu’elle se casse en plusieurs morceaux. La fragmentation est le phénomène physique qui régit ces communes observations : en réponse à une sollicitation intense, un corps contigu se fragmente en plusieurs morceaux. Elle survient aussi bien dans notre vie quotidienne que lors d’évènements exceptionnels, tels que la collision d’une météorite sur l’atmosphère ou l’impact d’un explosif pour creuser un tunnel. Une des particularités de la fragmentation est son universalité. Des échelles nanoscopiques aux astronomiques, elle touche tous les domaines de la physique, à condition que la sollicitation soit suffisamment intense pour générer une réponse chaotique et a priori imprévisible. Le Big Bang, l’effet du réchauffement climatique sur les calottes polaires, l’impact d’un projectile sur un gilet pare-balles, les expériences de fragmentation de l’ADN en sont des illustrations.
La complexité des phénomènes physiques qui régissent la fragmentation a séduit l’intérêt de nombreux chercheurs. Depuis plusieurs dizaines d’années, tous relèvent les mêmes défis : concevoir des matériaux plus ou moins résistants, maximiser ou minimiser le nombre de fragments, contrôler leur taille et leur forme, ou plus généralement comprendre pour apprivoiser. Dans les années trente, des ingénieurs (c.f. les travaux de Rosin et Rammler) ont d’abord établi des lois empiriques décrivant l’état résultant de la fragmentation, i.e. le nombre de morceaux et la distribution de leur taille. À cette époque, les expériences ne permettaient pas de détailler précisément l’évolution temporelle du processus physique, mais seulement de s’intéresser à un état stable. Afin d’expliquer rigoureusement les observations expérimentales, les théoriciens ont modélisé avec une approche statistique les incertitudes liées à la microstructure du matériau. La théorie de Poisson a été ainsi maniée durant plus d’un demi-siècle. Elle est à l’origine de nombreuses théories (c.f. les travaux de Lienau, Mott, Grady), mais trouve aujourd’hui ses limites. En effet, elle n’inclut pas les phénomènes non-linéaires, qui déterminent pourtant le nombre de fragments et leurs caractéristiques. C’est ici que les méthodes numériques font leur entrée : elles sont nécessaires pour modéliser ces non-linéarités et étudier leur influence sur le processus de fragmentation.

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fig. 1
Scalabilité du code. Le maillage est initialement composé de 28813 noeuds et 108910 tétraèdres. Le temps correspond à l’initialisation du maillage (duplicata des noeuds) et 300 pas de temps

Plusieurs méthodes numériques sont disponibles et peuvent être sommairement classées en deux catégories : les méthodes avec et sans maillage. Les méthodes sans maillage (Smooth Particle Hydrodynamics, Méthode des éléments discrets,...) traitent naturellement la rupture, les grandes déformations et le contact, et ne nécessitent pas de remaillage. Quant aux avec maillage (Méthode des Éléments Finis), elles sont précises, bien conditionnées et permettent une application des conditions aux limites réalistes. Nous utilisons la méthode des éléments finis, couplés à des éléments cohésifs insérés dynamiquement. Les éléments finis sont adaptés à la modélisation de l’évolution d’un système contigu. Pour prédire la fissuration du corps, un enrichissement de la méthode est nécessaire. Étant donné qu’un réseau de fissures dense intervient lors de la fragmentation, il faut traiter de manière simple, efficace et rapide l’apparition et l’évolution des fissures. L’idée de base consiste à considérer un maillage éléments finis, à calculer les contraintes à chaque point de Gauss, et à les comparer à des valeurs critiques choisies au préalable (voir encadré). Ces valeurs critiques sont le reflet de la microstructure du matériau. Il se casse facilement lorsqu’elles sont faibles, et au contraire est plus résistant lorsqu’elles sont élevées. Une fois le seuil atteint, un élément interface est ajouté. Ce nouvel élément, appelé élément cohésif, suit une loi d’évolution linéaire liant la contrainte locale à son ouverture. La rupture est effective lorsque la contrainte locale est nulle. Cette approche rend la fissure possible à chaque face du maillage, et offre un moyen facile de modéliser la microstructure.
Bien que séduisante pour sa simplicité, l’utilisation de cette méthode numérique est limitée par la taille du maillage. En effet, pour modéliser la réponse d’un corps soumis à des sollicitations dynamiques intenses, le nombre d’éléments nécessaires pour avoir des résultats convergés est important. Deux possibilités émergent : se cantonner à des géométries de petite taille (de l’ordre de 10 millimètres), ou utiliser des moyens numériques puissants pour paralléliser le code et traiter des géométries de taille représentative. Il est évidemment préférable de se rapprocher de la réalité afin de s’affranchir des difficultés liées aux effets de taille des structures.
Paralléliser la méthode des éléments finis-cohésifs est difficile, tant la communication entre processeurs est pénalisante. L’insertion dynamique des éléments cohésifs change constamment la topologie du maillage et n’est pas rentable. Une idée qui se fraye actuellement un chemin est de dupliquer tous les noeuds au début du calcul pour conserver la topologie, tout en préservant exactement les propriétés matériaux. La mémoire nécessaire à l’achèvement du calcul est évidemment décuplée, mais reste dans des proportions abordables avec les moyens informatiques actuels. La méthode de Galerkin discontinue (voir encadré) répond à ces attentes ; elle est stable, converge rapidement, et est très scalable (figure1). Originellement utilisée pour résoudre des équations de transport (Lesaint et Raviart, 1974), elle promet d’offrir des résultats probants dans de nombreux domaines, tels que la mécanique des fluides et de la rupture. Nous l’appliquons ainsi à la modélisation de la fragmentation.

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encadré
Schéma présentant sommairement les deux méthodes numériques utilisées pour simuler la fragmentation de structures hétérogènes : la méthode des éléments finis et la méthode de Galerkin discontinue. Chaque face du maillage est localement associée à un couple (σc ,δc) pour modéliser la microstructure. La méthode de Galerkin discontinue est particulièrement adaptée au calcul parallèle

Pour l’instant, nous traitons des problèmes simples pour paramétrer correctement et vérifier la justesse des calculs. Nous nous intéressons ainsi à une plaque en traction biaxiale et à un anneau soumis à une charge explosive en son centre. Les figures 2 et 3 présentent les conditions aux limites et les réseaux de fissures calculés avec la méthode de Galerkin discontinue.

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fig. 2
Plaque sous tension biaxiale. Gauche : conditions aux limites en vitesse. Droite : réseau de fissures résultant
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fig. 3
Anneau sous expansion forcée (soumis à une vitesse radiale) menant à sa fragmentation. Gauche : conditions aux limites en vitesse. Droite : réseau de fissures résultant.

Une fois la méthode calibrée, les perspectives sont diverses et prometteuses. Traiter des structures de taille réaliste, étudier l’influence de la microstructure sur les chemins de fissuration, comprendre l’influence du chargement sur la réponse de la structure sont des directions possibles pour les travaux à venir. La fragmentation est un processus complexe, dont la modélisation est non triviale. Elle a longtemps été simplifiée au maximum pour faciliter l’établissement de lois semi-empiriques. Les outils de calcul actuels offrent la possibilité de mieux comprendre le processus et de prédire plus précisément les caractéristiques des fragments générés.

Lectures conseillées

  • G.T. Camacho, M. Ortiz. Computational modeling of impact damage in brittle materials. International Journal of Solids and Structures. Vol. 33, pp.2899-2938. 1996.
  • D.E Grady. Fragmentation of rings and shells : The legacy of N.F Mott. Springer. 2006.
  • L. Noels, R. Radovitzky. An explicit discontinuous Galerkin method for non-linear solid mechanics : Formulation, parallel implementation and scalability properties. International Journal for Numerical Methods in Engineering. Vol.74, pp.1393-1420. 2008.
  • F. Zhou, J.F. Molinari, K.T. Ramesh. Effects of material properties on the fragmentation of brittle materials. International Journal of Fracture. Vol.139(2), pp.169-196. 2006.


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